3 тарауды пысықтауға арналған есептер

 

3.1. 2-тарауда, жылдамдықтың құйын векторы тепе-тең нөл болатын, құйынсыз қозғалыс сипатталған болатын. Мұндай қозғалыс үшін үзіліссіздік теңдеуінің түрін табыныз.

 

3.2. Айталық,  функциясы, тұтас ортаның масса бірлігіне келетін кез-келген скалярлық, векторлық немесе тензорлық шаманы білдірсін. Онда  екенің дәлелде.

 

3.3. Үзіліссіздік теңдеуінің  лагранждық формасы мен оның  Эйлерлік формасы эквивалентті екенің дәлелде.

3.4. , мұндағы  және А-кез-келген тұрақты, жылдамдық өрісі, сығылмайтын сұйықтықтың үзіліссіздік шартын қанағаттандыратының көрсетініз.

 

3.5.  жылдамдық өрісі үшін  екенің дәлелденіз.

 

3.6. (3.20) және (3.21) формулаларында пайдаланылған  теңдігінің ақиқат екенің теңдіктің екі жағын тікелей ашып жазу арқылы дәлелденіз.

 

3.7. Айталық, тұтас орта континууммына таралған массалық моменттер әсер етсін (mi бірлік көлемге). (3.16) теңдігі өз күшінде қалатынын, бірақ кернеу тензорын симметриялы деп есептеуге болмайтынын дәлелде.

 

3.8. Қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теореманың дифференциальдық формасы (локальды форма)  теңдеуімен өрнектеледі. (3,16) қозғалыс теңдеуі осы теңдеуден шығатының дәлелде.

 

3.9. (3.19) теңдеуінен (3.20) теңдеуі қалай шығатының дәлелде.

 

3.10. Абсолютті қатты дененің бекітілген нүктеден қозғалғандағы жылдамдық өрісі  түрінде болады. Мұндай қозғалыс үшін (3.19) теңдеуі қатты дене динамикасының моменттер теңдеуіне келтірілетінін дәлелде.

 

3.11.  түріндегі жылдамдық өрісі бар абсолютті қатты дене қозғалысы үшін (3.23) кинетикалық энергия интегралы, қатты дене дигнамикасының осыған ұқсас өрнегіне келтірілетінің дәлелде.

 

3.12. Тұтас ортаның бірқатар нүктесіндегі кернеу тензоры және деформация жылдамдық тензоры келесі түрде берілген:

 

 және   .

 

Осы нүктедегі  кернеу қуатының  шамасын анықтаңыз.

 

3.13. Айталық,  болсын. Кернеу қуатын  түрінде жазуға болатының көрсет.

 

3.14.  шарт жағдайындағы энергия теңдеуінің түрін көрсетініз. Ал жылу өткізгіштік  түріндегі Фурье заңына бағынады.

 

3.15. Айталық,  болсын. Қайтымды термодинамикалық процесс кезінде меншікті энтропия өзгеру жылдамдығының теңдеуін жазыныз.

3.16. Кернеу тензорының диссипативті бөлігі  берілген. Диссипативті функцияны тауып, оны деформация жылдамдық тензоры -ның инварианттары арқылы өрнекте.

 

3.17. Айталық, анықтауыш теңдеу  түрінде борлсын. Кернеу және деформация жылдамдық тензорларының симметриялығынан, төртінші рангілі  тензорының тәуелсіз 36 коипоненті ғана қалатының дәлелде. Бұл компоненттерді алтыншы ретті матрица түрінде жаз.

 

3.18. Егер 8.7-есептегі  анықтауыш теңдеу бар орта изотропты, яғни  тензорының компоненттері кез-келген ортогональ декарттық координаталар жүйесінде бірдей болса, онда  тензорының тәуелсіз 36 компонентін координата осьтерін циклдік түрде алмастыру (атын өзгерту) арқылы 2-ге дейін қысқартуға болатының дәлелде.

 

3.19. Изотропты орта үшін  тензорының компоненттері  түрінде де берілуі мүмкін. Осы өрнекті пайдаланып,  анықтауыш теңдеуін  және  арқылы өрнектеніз.

 

3.20. 3.19 - есептегі анықтауыш теңдеуді келесі екі топқа бөлуге болатының дәлелде:  және , мұндағы  және  - сәйкесінше кернеу тензорының девиаторы және деформация жылдамдық тензоры.

 

3.21. Келесі теңдіктің дұрыс екендігін дәлелденіз: , мұндағы  - тығыздық,  - үдеу және  - иірімділік векторы.

 

3.22. Сығылмайтын сұйықтықтың жазық ағыны , , , мұндағы  түрінде берілген. Мұндай жылдамдық өрісі үзіліссіздік теңдеуін қанағаттандыратының дәлелде.

 

3.23. 3.22-есептегі жылдамдық өрісі құйынсыз болатының дәлелде.

 

3.24. , мұндағы , болатын сығылмайтын сұйықтықтың жазық ағыны берілген. Егер х1=0 болғанда, барлық х2 үшін =0 болса, барлық ағындағы  компонентін табыныз. Қозғалыс құйынсыз, ал тоқ сызығы – шеңбер болатының дәлелденіз.

 

3.25. Бірқатар ортаның анықтауыш теңдеуі , мұндағы  және  - тұрақтылар, түрінде берілген. Жылдамдық векторы vi арқылы қозғалыс теңдеуін өрнектеніз.

 

3.26. V көлемін алып жатқан ортаның кинетикалық энергиясының өзгеруінің материальдық жылдамдығын табыныз және алынған интегралдардың физикалық мағынасын түсіндірініз.

 

3.27.  болатын сығылмайтын ортада  жылдамдық потенциалы бар құйынсыз қозғалыс жүреді, сондықтан .  диссипативтік функциясын табыныз.

 

3.28.  болатын орта үшін  меншікті энтальпия түсінігі еңгізіледі. Бұл түсінікті пайдаланып энергия теңдеуін  түрінде жазуға болатының дәлелде.

 

3.29. Айталық, 3.28 - есептегі орта сығылмайтын орта сияқты қозғалсын. Массалық күштер жоқ болғанда және тығыздық тұрақты болғандағы қозғалыс теңдеуін құйындану векторы  арқылы жаз.